ШІМ і аналоговий вихід

Для того аби ШІМ давала стабільне статичне значення потрібно відфільтрувати сигнал. Нижче показано як обислити елементи просто низькочастотного фільтра для зменшення коливань напруги на виході нижче певного значення. Якщо цікавить лише результат - гортайте в самий кінець, там є вираз.

ТУТ буде схема RC-кола і малюнок вхідної напруги.

$$ V_0(t) = \begin{cases} V_0 & t < t_h \\ 0 & t_h \leq t\leq T \\ \end{cases} $$ Рівняння Кірхгофа для напруги:

$$ IR + V_c = V_0(t) $$ Так як струм через ємність буде таким же як і через опірник, то можна замінити $I = C\frac{dV_c}{dt}$. Поділивши все рівняння додатково на $RC$, отримаємо:

$$ \frac{dV_c}{dt} + \frac{V_c}{RC} = \frac{V_0(t)}{RC} $$ Так як вхідна напруга має два фіксовані стани у різні моменти часу, то рівняння можна розв'язати окремо для $t < t_h (V_0(t) = V_0)$ і для $t_h \leq t\leq T (V_0(t) = 0)$.

Почнемо з другого випадку так як він є легшим. Рівняння для $t_h \leq t\leq T$ має вигляд:

$$ \frac{dV_c}{dt} + \frac{V_c}{RC} = 0 $$ Припустимо, що $V_c(t) = Ae^{\alpha (t - t_h)}$. Підставляємо у рівняння:

$$ A\alpha e^{\alpha (t - t_h)} + \frac{Ae^{\alpha (t - t_h)}}{RC} = 0 = A\alpha + A/RC => \alpha = - \frac{1}{RC} => V_c(t)=Ae^{-\frac{(t - t_h)}{RC}} $$ Константу $A$ визначемо пізніше. Тепер перейдемо до моментів часу $t<t_h$: $\frac{dV_c}{dt} + \frac{V_c}{RC} = V_0$. Розв'язок цього рівняння можна знайти як суму загального розв'язку однорідного рівняння (коли права частина = 0) + частковий розв'язок неоднорідного (коли права частина = $V_0$): $V_c(t)= \overline{V_c(t)} + \widetilde{V_c(t)}$ . Розв'язок однорідного рівняння нам уже відомий.

$$ \overline{V_c(t)} = Be^{-\frac{t-t_h}{RC}} $$ Знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння досить легко. Так як права частина є просто сталою, всі похідні нашого розвязку мають дорівнювати нулю. Отже припустимо, що $\widetilde{V_c(t)} = С_1 V_0$, де $C_1$ просто стала. Підставляємо у рівняння:

$$ \frac{\widetilde{V_c(t)}}{dt} + \frac{\widetilde{V_c(t)}}{RC} = 0 + \frac{C_1 V_0}{RC} = \frac{V_0}{RC}. => C_1 = 1. => \widetilde{V_c(t)} = V_0 $$ Тоді повний розв'язок:

$$ V_c(t)= \overline{V_c(t)} + \widetilde{V_c(t)} = Be^{-\frac{t}{RC}} + V_0 $$ Так як напруга на ємності при $t=0$ і $t=t_h$ може бути різною, визначемо іншу початкову умову: $V_с(0) = V_{c0}$. Підставимо у наш розв'язок:

$$ V_c(0)=Be^{-\frac{0}{RC}} + V_0 = V_{c0} => B = V_{c0} - V_0 $$ Повний розв'язок для $t < t_h$ тепер: $V_c(t) = V_0(1-e^{-\frac{t}{RC}}) + V_{c0}e^{-\frac{t}{RC}}$ Якщо припустити, що напочатку ємність була порожньою, то $V_{c0}=0$ і $V_c(t) = V_0(1-e^{-\frac{t}{RC}})$.

Так як в момент часу $t=t_h$ напруга буде однаковою для обох розв'язків, можемо визначити константу $A$ для періоду часу $t_h \leq t \leq T$:

$$ Ae^{-\frac{t_h - t_h}{RC}} = V_c(t=t_h) = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}}) \\ A = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}} => V_c(t_h < t < T)= V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}})e^{-\frac{t-t_h}{RC}} $$ Тепер коли нам відома напруга на ємності, можна оцінити відхилення вихідної напруги від постійного значення. Величина коливань буде:

$$ \Delta V_c = V^1_c(t=t_h) - V^2_c(t=T) $$ де

$$ V^1_c(t=t_h) = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}}) \\ V^2_c(t=T) = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}}) e^{-\frac{T-t_h}{RC}} $$ Отже:

$$ \Delta V_c = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}}) - V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}}) e^{-\frac{T-t_h}{RC}} = V_0(1-e^{-\frac{t_h}{RC}})(1-e^{-\frac{T-t_h}{RC}}) $$ Так якми вільні у виборі складових кола, припустимо, що ми можемо підібрати $RC$, так щоб $RC >> t_h, T$. Або іншими словами $RC>>2\pi/\omega$. Тоді $t_h / RC, \ \ T/ RC << 1$ і експоненти можна розкласти у ряд Тейлора: $e^x = 1 + x + O(x^2)$ залишивши лише перші два доданки.

Тоді $\frac{\Delta V_c}{V_0} =\frac{t_h(T-t_h)}{(RC)^2}$. Як видно найгірші ситуація з найбільшими відхиленнями напруги буде тоді, коли $t_h = 0.5T$. Також можна врахувати, що стала частина вихідної напруги буде: $V_c = V_0 \frac{t_h}{T}$ Підставивши це у формулу і виразвши $RC$ отримаємо:

$$ RC \ge 0.5T \sqrt{T/t_h}\sqrt{V_c/\Delta V} $$ Наприклад, якщо відхилення не мають перевищувати 0.1%, то можна використати R=100Ом, С=10мкФ.